1988 год. Это был последний шанс нашей сборной завоевать звание чемпиона Европы по футболу. После фантастических голов Рууда Гуллита и Марко ван Бастена советские футболисты проигрывали со счетом 0:2, но время еще оставалось, и тут – это не так часто случается в финалах чемпионатов Европы! – судья назначил пенальти в ворота голландцев. Бить взялся Игорь Беланов, за два года до этого названный лучшим футболистом континента. Он забивал пенальти выдающимся вратарям – Ринату Дасаеву и Жан-Мари Пфаффу. На его удар было просто невозможно среагировать: мяч летел, как ядро. Неудивительно, что голландский вратарь Ханс ван Брекелен даже не пытался реагировать. Он бросился наугад. Пущенный Белановым с невероятной силой мяч попал ему в ногу и отскочил на поле. В такой же ситуации в 2018 году удача оказалась на нашей стороне – в серии пенальти с испанцами мяч попал в ногу Игорю Акинфееву, но тридцать лет назад, в 1988-м, сборная СССР упустила свой шанс. Конечно, это была чистая случайность. Сильно пущенный мяч пролетает 11 метров за полсекунды, и никакая реакция не может здесь помочь. Полети мяч в другой угол, ван Брекелен оказался бы бессилен, а наша сборная получила бы возможность отыграться. Но, оказывается, ван Брекелену есть чем гордиться. Прыгая “случайно”, он поступил оптимальным образом. Смешанные стратегии Если спросить экономиста, что произойдет в ситуации, когда у участников есть возможность выбирать стратегию, он вам ответит: надо посмотреть, что произойдет в равновесии. А что такое равновесие? Это такой выбор стратегии каждым из действующих лиц, при котором они, даже зная, какую именно стратегию выбирают остальные, не стали бы пересматривать свой выбор. И все же, что происходит, если, узнав о выборе других, хочется поменять свой? Представьте себе такую игру: один игрок пишет на бумажке “черное” или “белое”, а второй угадывает. Если угадает, то заработает рубль, а если нет – проиграет столько же. Правила понятны? В этой игре у каждого из игроков есть по две стратегии: у одного – загадать один из двух цветов, у другого – сказать “черное” или “белое”. Но если стратегия первого будет состоять в том, чтобы загадывать “белое”, то второй, конечно, станет говорить “белое” и выигрывать. А если загадывающий знает, что второй собирается сказать “белое”, то он лучше загадает “черное” и окажется в выигрыше. Получается, что на каждый выбор загадывающего имеется такой ответ, что ему захочется поменять свой выбор. И наоборот, если бы тот, кто загадывает, знал, какую стратегию применяет второй, он бы поменял цвет. Так что чистые стратегии в этой игре не дают равновесия. Зато если загадывающий “смешает” стратегии – подкинет тайком монетку и, если выпадет решка, напишет “белое”, а если орел – “черное”, – то у второго есть такой ответ, что первому все равно будет выгодно придерживаться этой смешанной стратегии. А именно, второй игрок тоже будет подкидывать тайком монетку и называть цвет в зависимости от того, какой стороной она выпала. Таким образом и будет достигнуто равновесие. Нечто похожее происходит и при исполнении 11-метрового. Грубо говоря, у бьющего пенальти есть три стратегии: ударить в правый угол, в левый или, сделав вид, что бьет в угол, ударить по центру. И у вратаря возможностей тоже три: прыгнуть вправо, прыгнуть влево и остаться на месте. Точно так же, как и в игре с загадыванием цветов, равновесие здесь возможно только “смешанное”. В голове у вратаря должен быть небольшой датчик случайных чисел. Эмпирический вопрос Игра в “черное” и “белое” показывает, что без смешанных стратегий часто не обойтись. Это теоретически. Три американских экономиста – Стивен Левитт, один из авторов популярной книги “Фрикономика”[19], Пьер-Андре Кьяппори и Тимоти Гроусклоуз – решили посмотреть, насколько точно следуют предписаниям экономической теории профессиональные футболисты[20]. Оказалось, что и вратари, и пенальтисты довольно устойчиво следуют равновесным стратегиям – прыгают и бьют по углам случайным образом. Как проводилось исследование? Чтобы определить, в какой угол прыгал вратарь и куда бил игрок, исполняющий 11-метровый, экономисты просмотрели фрагменты матчей французской и итальянской профессиональных лиг за три года. За это время было пробито 459 пенальти 162 игроками, в воротах стояли 88 вратарей. Из пенальтистов 58 % пробили не менее чем по четыре раза. Ни один из них не бил в один и тот же угол. Для статистического анализа было бы хорошо располагать сведениями о конкретных парах вратарь – пенальтист, которые встретились бы в 11-метровом раз двадцать за несколько лет. К сожалению, один и тот же пенальтист с одним и тем же вратарем встречается, как правило, не чаще, чем два-три раза за карьеру. Важнейшее предположение, которое необходимо было сделать авторам, состояло в том, что вратарь и игрок, бьющий пенальти, делают свой выбор – куда прыгать и куда бить – одновременно. Несмотря на то что может показаться, будто исполнитель пенальти часто ждет, пока вратарь начнет движение в угол, предположение о том, что решения принимаются независимо, вполне согласуется с данными. Авторам не удалось обнаружить корреляцию, то есть статистическую зависимость, между направлениями броска вратаря и удара. Кстати, в точном соответствии с наблюдениями футбольных знатоков, выбор игрока не зависит от того, как прыгал вратарь в предыдущих случаях, а вот вратари, по-видимому, знают о приемах бьющих пенальти игроков. На чемпионате мира 2006 года у вратаря сборной Германии Йенса Леманна даже была шпаргалка: как били пенальти игроки команды соперников, и он подглядывал в нее между ударами. Впрочем, даже здесь теоретическое соображение о том, что прыгать нужно “случайно”, сработало. Когда аргентинец Роберто Айяла готовился к удару, Леманн посмотрел в шпаргалку и, увидев, что там написано “правый угол”, прыгнул влево (перепутал, проигнорировал?) и отбил удар. Есть и некоторые тонкости – например, игроки-правши (примерно 85 % всех игроков) предпочитают бить, как правило, в левый от себя угол. При статистических вычислениях это нужно учитывать. Вероятность гола, если вратарь выбрал “неправильный” угол – от 82 до 95 % (результат варьируется в зависимости от того, насколько точно произведено измерение), а если “правильный” – то от 43 до 64 %. Доказательство того, что футболисты используют именно смешанные стратегии, – отсутствие закономерности в последовательности ударов одного игрока и направлений прыжков одного вратаря. Работа трех экономистов в основном состояла в очистке исходных данных, чтобы никакие статистические погрешности не помешали уловить то, что профессиональные футболисты действительно “смешивают” стратегии – прыгают и бьют случайным образом. Конечно, было бы странно предполагать, что профессиональные голкиперы, у подавляющего большинства которых нет высшего образования, что-нибудь слышали о смешанных стратегиях. Или чтобы они тайком от телекамер подкидывали монетку, обеспечивая “случайность” своих действий. Однако вполне может так быть, что вратари, играющие в лучших профессиональных лигах, прошли среди прочего “естественный отбор” по врожденной способности смешивать стратегии. Это касается не только футбола. В статье экономистов Уокера и Вудерса, опубликованной в American Economic Review в 2001 году[21], рассматривались стратегии, применяемые сильнейшими теннисистами мира. Оказывается, их действия вполне соответствовали теории, причем взрослые, сложившиеся игроки “смешивали” гораздо лучше, чем юные. Умная игра в дурака Недавно я слышал, как один лектор в серьезном экономическом вузе бросил ассистенту по курсу теории игр: “Поставьте в экзамен задачи на чистые стратегии. Смешанные – это теоретики выдумали”. Бог с ним, с футболом. Интересно, приходилось ли этому лектору когда-нибудь играть в преферанс, бридж или хотя бы в дурака? Если он не использовал смешанные стратегии, то, наверное, часто проигрывал. Что такое чистая, то есть несмешанная, стратегия в преферансе? Это значит, что, если даже вам все равно, какую карту сбрасывать на козырь оппонента или с какой делать заход, вы в одной и той же ситуации (при одном и том же раскладе) всегда делаете одно и то же. Вспоминается – внимание: неправильный! – совет бабушки пирата из шуточной песенки Эдуарда Успенского: “И всегда ходи с бубей, если хода нету!” Если вы последуете этому совету, то оппонентам будет гораздо легче играть против вас, потому что ваши ходы будут нести больше информации о тех картах, которые у вас на руках. Если при игре в дурака вы будете придерживаться какой-то заранее заданной чистой стратегии (иными словами, у вас будет листочек с описанием вашего хода в каждой возможной ситуации), это значительно упростит игру вашим соперникам. Теоретик игры нобелевский урок. Джон Нэш (1994) Гибель в автомобильной катастрофе Джона Нэша, единственного в мире лауреата двух самых престижных научных премий – Нобелевской по экономике и Абелевской по математике, поставила точку в жизни, которая и до этого казалась написанной голливудским сценаристом. Детство в маленьком городке в Западной Вирджинии, гениальность, замеченная преподавателями в бакалавриате, аспирантура в Принстоне, диссертация в 16 страниц, перевернувшая – через сорок лет – экономическую науку, а пока обеспечившая работу в научном центре мира, МТИ, выдающиеся работы по чистой математике, шизофрения, оборвавшая научную карьеру и семейную жизнь, возвращение к нормальности через двадцать лет, Нобелевская премия, возвращение любимой женщины, фильм “Игры разума” и всемирная слава, заслуженная старость с почетными лекциями и новыми премиями за работы полувековой давности, мгновенная смерть вместе с любимой – сказка, а не материал для сценария. Однако идеальным героем Нэша делает не его личная жизнь, а научные достижения. Для публики великий ученый – это автор одного-двух великих открытий, меняющих представление людей о мире, а иногда и сам мир. Жизнь великого ученого состоит в долгом и трудном пути к открытию, иногда требующем годы, чтобы добиться признания, но в итоге биография делится по существу на “до” и “после”. На самом деле среди сотен великих ученых, менявших наш мир в последние тысячелетия, лишь единицы имеют такую стереотипную биографию. В большинстве случаев научный вклад составлен из множества отдельных работ, среди которых выделить “прорыв” удается – если удается! – только через много лет, при написании биографии. И главное, каждая из этих работ – микроскопическое улучшение по сравнению с тем, что уже известно ученым, работающим в этой области. Наука почти всегда движется широким фронтом – даже если речь идет об узком направлении, – и герои-одиночки появляются уже потом, при вручении наград, приглашении с почетными лекциями, написании некрологов и сценариев. Нэш – исключение: он написал совсем немного работ, и в каждом случае отдельная работа резко меняла представление о дисциплине. В своей главной статье “Равновесия в играх с N участниками”, занявшей в 1950 году в Proceedings of the National Academy of Sciences всего одну страничку, Нэш сформулировал понятие абстрактного равновесия для абстрактной игры, простейшей модели стратегического взаимодействия – ситуации, в которой выигрыш участника зависит не только от того, что делает он, но и от того, что делают другие участники. (Далеко не всякое взаимодействие – стратегическое. Например, когда кто-то покупает банку кока-колы в магазине или билет в метро, цена не определяется в ходе разговора с продавцом.) Предложенное Нэшем определение показалось привлекательным сразу по нескольким причинам. Во-первых, оно очень простое. Если для наглядности предположить, что каждый игрок делает только один ход, всего лишь требуется, чтобы, выбрав свой ход, он не захотел пересмотреть свой выбор, глядя на выбор других игроков. Тогда набор ходов, сделанный игроками, – равновесие, по Нэшу. Во-вторых, равновесие, как его определил Нэш, существует всегда, в любом стратегическом взаимодействии. Это очень важное свойство, потому что экономическая модель, описывающая реальность, всегда должна иметь какое-то “равновесие” – состояние, которое, согласно этой модели, может реализоваться в жизни, если модель адекватна. Но нет гарантии, что именно это состояние реализуется. По Нэшу, в одной игре может быть несколько равновесий: представьте, например, ситуацию, когда игроки-водители выбирают, по какой стороне двухполосной дороги им ехать. Не нужно быть математиком, чтобы увидеть два возможных равновесия. (Математиком нужно быть, чтобы увидеть, что в этой игре есть и другое равновесие, по Нэшу, более сложно устроенное.) Эта универсальность, которая стала очевидна сразу, как только Нэш дал свое определение, оказалась огромным преимуществом. Как ни странно, равновесие по Нэшу стало центральным понятием экономической теории – это произошло в 1980-е – не потому, что его привлекательность осознали чистые теоретики. В 1970-е чистые теоретики в экономической науке занимались как раз другими, нестратегическими взаимодействиями, например свойствами “общего равновесия” – исследованием рынков со множеством субъектов, каждый из которых настолько мал, что его действия не влияют на складывающиеся цены и, значит, на действия других субъектов. В этой области появились важнейшие результаты – по существу, фундамент для анализа финансовых рынков, но значительная их часть была просто красивой и сложной математикой – изучением поверхностей и их “складок”. А теоретико-игровые модели, еще относительно простые, использовались в только зарождающейся теории контрактов и экономике отраслевых рынков. Причина была в том, что эмпирические экономисты имели дело с “агрегированными” данными. Макроэкономисты имели дело с данными об инфляции и безработице, микроэкономисты – о затратах и выпуске компаний. Как только экономисты научились “увеличивать разрешение” – как биологи когда-то получили более мощные микроскопы, а астрономы, соответственно, телескопы – ситуация изменилась. Стало ясно: когда можно рассматривать экономику на уровне индивидов, то и компания оказывается не “черным ящиком”, производящим из какого-то объема ресурсов какой-то объем продукции, а организацией, в которой у разных экономических субъектов – владельцев, менеджеров, работников – есть разные интересы и разные “ходы”. Оказалось, что эти ситуации описываются гораздо реалистичнее, чем раньше, если рассматривать их как стратегические взаимодействия (контракт менеджера и усилия работника – это в простейшей теории равновесный результат в игре, которую придумывает для них владелец). То же происходило и в остальных областях экономической науки: чем мощнее был “микроскоп”, чем более мелкие детали можно было различить, изучая реальные данные, тем важнее были стратегические аспекты взаимодействия и тем важнее, соответственно, концепция равновесия по Нэшу. В макроэкономике при изучении реакции на изменение денежной политики приходится в работе с данными опираться на теории, в которых неодинаковые граждане (например, по-разному ценящие свободное время и имеющие разные таланты) реагируют на действия Центробанка. (Еще тридцать лет назад годились для анализа модели с одинаковыми гражданами, и эти модели описывали реальность куда менее адекватно.) Центробанк, выбирая денежную политику, опирается на свои ожидания относительно того, что сделают граждане. То есть мы анализируем именно равновесие по Нэшу – и это настолько распространено, что экономисты, занимающиеся прикладными исследованиями, делают это автоматически, не отдавая себе в этом отчета. Равновесие по Нэшу – только одна, одностраничная, статья. Была еще замечательная статья, опубликованная в том же 1950 году, по поводу сугубо экономического, но не менее важного вопроса. Если возникает ситуация, при которой в результате действий двух человек или двух компаний создается какая-то добавленная стоимость, в каком соотношении ее нужно делить? Это классический вопрос, на который дано множество ответов, но статья Нэша стала первым нормативным теоретическим ответом: были сформулированы естественные аксиомы и получено конкретное решение – следствие из этих аксиом. Такой анализ помогает в реальной жизни опосредованно, делая ее более понятной – как включение фонарика не меняет темный лес, но существенно облегчает его преодоление. Нэш вернулся к экономическим моделям стратегического взаимодействия в 1990-е, после двадцатилетнего перерыва. Я дважды слушал его пленарные лекции на мировых конгрессах по теории игр. Они неизменно собирали полные залы, и, казалось, люди расходились слегка разочарованными: настолько нормальным был Нэш. Те, кто не читал его биографии, и не узнали бы про болезнь и тридцатилетний перерыв в научной деятельности. Пожилой человек, объясняющий довольно простую – без признаков гениальности – модель, со старомодно сделанными слайдами. В Эванстоне в 2008 году, после того как Нэш был представлен аудитории, он повернулся к огромному экрану, где формулы были написаны в Word, и сказал, как будто самому себе: “Наверное, надо было сделать красивую презентацию в Power Point”. Странным в его докладах было разве что то, с каким почтительным вниманием слушали его сидящие в первых рядах Шепли, Майерсон, Маскин, Калаи и другие титаны теории игр. Вклад в экономическую науку огромен, но Нэш большую часть своей короткой карьеры – он перестал заниматься наукой, когда ему было около тридцати, – был прежде всего математиком. Его вклад невозможно назвать фундаментальным, хотя комитет по Абелевской премии, совсем новому математическому аналогу Нобелевской, – решился. Но теорема Нэша, связавшая два разных раздела науки – алгебраическую и дифференциальную геометрии – была и очень трудной, и очень неожиданной. Недаром известный математик Барри Мазур сказал (для некролога в New York Times), что Нэш атаковал проблемы “голыми руками”. Как будто никто не брался за проблему до него. Как будто от этой проблемы зависит жизнь и смерть. Как идеальный герой для сценария фильма о науке. Специалисты по шантажу и блефу[22] нобелевский урок. Томас Шеллинг и Роберт Ауманн (2005) Томас Шеллинг – “запоздалый” нобелевский лауреат. Он получил свою премию в 2005 году за The Strategy of Conflict, написанную за сорок пять лет до этого и принесшую ему мировую славу. Едва выйдя в свет, книга стала не просто настольной у лидеров мировых держав и министров иностранных дел (для них она и была написана), но и стандартным учебником по разным дисциплинам – от международных отношений до корпоративного менеджмента. The Strategy of Conflict сделалась настоящим бестселлером. Абстрактные рассуждения о структурных вопросах внешней политики перемежались цитатами из действующих глав государств, а изящные теоретические концепции иллюстрировались занимательными примерами – чего стоит один из них, с двумя грузовиками, груженными динамитом, пытающимися разъехаться на узкой дороге. Одновременно эта книга, совершенно практическая по замыслу, дала старт огромному количеству экономических теорий. До Шеллинга экономисты, которые занимались теорией конфликтов и кооперации, в основном работали над нормативными вопросами. Например, как можно определить “справедливую долю” каждого участника в дележе какого-нибудь приза? Шеллинг задался вопросом, как торг и переговоры происходят в реальном мире. Выяснилось, что такие, казалось бы, понятные всем стратегии, как шантаж и блеф, на практике требуют очень тонкого анализа. Помните, Рональд Коуз, другой нобелевский лауреат, тоже интересовался проблемами “шантажа”? Его тогда интересовала точка отсчета. Кто на что имеет право: жертва имеет право на всю информацию о себе и шантажист должен быть наказан? Или шантажист имеет право публиковать все, что ему вздумается, а жертва должна платить, если хочет, чтобы какая-то информация осталась тайной? Шеллинг занялся совсем другими вопросами: что такое шантаж и что такое блеф как стратегическое взаимодействие? Ясно, например, что генерал, приказывающий сжечь мосты позади своей армии, не просто поднимает боевой дух солдат – он демонстрирует противнику готовность драться не на жизнь, а на смерть. Иначе говоря, вопреки примитивному “здравому смыслу” можно получить стратегическое преимущество, сократив количество доступных действий. В данном случае генерал отказывается от возможности отступить, если бой будет складываться неудачно. С одной стороны, он ограничивает собственную свободу маневра, с другой – получает преимущество, демонстрируя противнику, что его армия, выдвигаясь вперед, не блефует, а собирается идти до конца. В книге Arms and Influence 1966 года, которая развивала заложенные в The Strategy of Conflict идеи[23], Шеллинг приводит в пример ситуацию из переговоров российского лидера Никиты Хрущева с американским посланником Авереллом Гарриманом. Речь шла о возможном использовании американских танков в конфликте вокруг Западного Берлина. Хрущев сказал: “Если вы хотите войны, вы ее получите – но это будет ваша война. Наши ракеты полетят автоматически”. Казалось бы, советский лидер сузил собственный арсенал ответов на действия противника, но, в точном соответствии с теорией Шеллинга, он в результате этого сужения получил стратегическое преимущество. Раз ракеты полетят автоматически, у американских генералов не будет возможности строить свой расчет на том, что после их хода – в изменившейся ситуации – противнику может оказаться выгодно отступить. Без этого не получилось бы ядерного сдерживания: одна сторона могла бы нанести удар, рассчитывая на то, что второй стороне, после того как удар уже будет нанесен, отвечать окажется невыгодно. А сколько отдельных эпизодов шантажа и блефа произошло во время одного только Карибского кризиса – и не перечесть. Примеры с генералом и мостами, с Хрущевым и ракетами позволили Шеллингу показать, что информированность сторон играет ключевую роль в стратегическом взаимодействии. Если противник не узнает, что генерал сжег мосты, то это действие резко потеряет в силе, потому что противник может начать наступление, думая, что мосты целы и войска генерала могут отступить. Можно и продолжить это рассуждение. Если враг узнает, что мосты сожжены, ему будет выгодно притвориться, что он об этом не знает. В свою очередь, генералу выгодно вести себя так, будто он уверен, что противник знает о его поступке и т. д. Шеллинг – один из тех нобелевских лауреатов, чья сила была вовсе не в умении строить сложные формальные модели или проводить хитроумные статистические вычисления. После окончания Беркли и аспирантуры в Гарварде он работал в государственных учреждениях, консультировал бизнесменов и правительство. На такой работе требуются прежде всего ясность идей и прозрачность аргументации. Сама мысль о том, что правительства и корпорации вовлечены в стратегическое взаимодействие – “большую игру”, в которой результат зависит не только от сделанных ходов, но и от тех, которые только могли бы быть сделаны, была революционной. Шеллинг создал полноценную теорию стратегического взаимодействия, которую в математике и экономике чаще называют теорией игр, при этом он использовал минимальный математический аппарат. Часть этого аппарата появилась только через десять лет в работах Райнхарда Зелтена и Джона Харсаньи, а получили они Нобелевскую премию на десять лет раньше, чем Шеллинг. Третьим лауреатом в 1994 году стал создатель формальной концепции стратегического равновесия Джон Нэш, выдающийся математик и экономист, главный герой фильма “Игры разума”. Однако самый большой вклад в формализацию идей Шеллинга внес Роберт Ауманн. Почему Анна не смеется В аспирантуре Массачусетского технологического института, где Роберт Ауманн занимался не экономикой, а чистой математикой, он познакомился с Джоном Нэшем, который и заинтересовал его теорией игр – в то время лишь зарождающейся дисциплиной. Тогда никто не мог представить, что через несколько десятилетий теория игр станет обязательным инструментом в арсенале любого экономиста, а соответствующий курс будет читаться на всех экономических факультетах мира. Работы Шеллинга в начале 1960-х позволили взглянуть на стратегии мировых держав свежим взглядом, но к 1970-м появились новые вопросы. Ни одна из сторон не была заинтересована в ядерном конфликте, но в то же время каждая хотела добиться максимума уступок от другой. Напряженность держалась десятилетиями, а любая неосторожность могла привести к катастрофе. Неудивительно, что политики консультировались у специалистов по теории игр. Именно в тот период возникла теория повторяющихся взаимодействий, решающий вклад в которую внес Роберт Ауманн. Основной результат этой теории, известный в экономической науке как “народная теорема”, состоит в том, что при повторяющихся взаимодействиях стороны могут воздерживаться от действий, сулящих им краткосрочную выгоду за счет долгосрочных потерь. “Народная теорема”, после того как она была сформулирована, перестала производить впечатление на профессиональных математиков – им результат кажется тривиальным. Однако придумать эту теорему, предложить формальное описание конфликта, которое можно использовать и в научной дискуссии, и на практике, построить модель, которая позволит отсечь несущественное и выделить движущие механизмы конфликта, было отнюдь не просто. То же относится и к другой фундаментальной идее, предложенной Ауманном, – концепции “общего знания”. Она наконец позволила дать общий, структурный ответ на вопрос, как анализировать ситуации типа “я знаю, что он знает, что я знаю, что…”. Эту концепцию можно проиллюстрировать на примере истории о трех барышнях – назовем их Анна, Бетти и Вероника, – едущих в поезде по викторианской Англии. У всех трех лица вымазаны сажей из паровозной трубы, но зеркала поблизости нет и каждая видит лишь двух других и смеется над грязнулями. Каждая из них считает, что сама-то она – чистая! В купе заходит проводник и между прочим сообщает им следующую новость: “Среди вас есть девушка, у которой нос в саже”. Проходит пара минут, и вдруг самая умная из них, скажем Анна, перестает смеяться, понимая, что и у нее лицо испачкано. Разве не удивительно? Должно быть удивительно – кажется, что проводник не сообщил девушкам никакой новой информации. Каждая из них и так знала, что в купе есть девушка с испачканным носом: она же видит перед собой даже не один, а два таких носа!